線形計画法入門（森口繁一）

門前パソコン学習所

令和５年長月
2023-09-24
2023-10-18

以下の問題は、

「線計画法入門」

著者	森口繁一
発行	１９５７年８月１日	２００１年２月１６日改装第１８刷
発行所	株式会社日科技連出版社

を参考にしている。

問題の詳細は書籍を参照ください。ここでは表で示します。

ただし、問題 F1 と F2 は詳細も示します。

Python のプログラムは、リストや辞書などを使用した、多少複雑な表現を用いる場合があります。

書籍	番号	最適化問題	備考
2	A1	自動車の製造
2	A2	油脂の製造
2	B1	飼料の混合
2	B2	高炉の操業
2	B3	発送電
2	C1	燐鉱石の混合	退化例
2	C2	ビタミン剤の製造
2	D1	米の輸送
2	D2	リンゴの輸送	1-61
2	E1	製品Xの生産	1-00
2	E2	２種の時計の生産
2	E3	中間体Mと製品Xの製造
2	F1	梁の極限設計
2	F2	構造物の塑性変形

A1 自動車の製造

	型
工場	大型	中型	小型	生産工数(人時)
	X1	X2	X3
プレス	6	5	4	1800
組立塗装	50	40	30	14000

利益	90,000円	70,000円	55,000円

各トラックをそれぞれ何台ずつ製造するのが最も有利であるか。

制約条件式

6X1+5X2+4X3≦1800

50X1+40X2+30X3≦14000

目的関数(max)

Z=9X1+7X2+5.5X3

最良計画

x1=100, x2=0, x3=300, Z=25500,000

Python による結果

# 2-A1自動車の製造
from mypulp import *
master = Model("model2A1")
X1 = master.addVar(vtype="C",name="X1")
X2 = master.addVar(vtype="C",name="X2")
X3 = master.addVar(vtype="C",name="X3")
master.update()
#
#master.addConstr(6*X1+5*X2+4*X3 <= 1800)
#master.addConstr(50*X1+40*X2+30*X3 <= 14000)
#
L1=LinExpr()
L1.addTerms(6,X1)
L1.addTerms(5,X2)
L1.addTerms(4,X3)
master.addConstr(lhs=L1,sense="<=",rhs=1800,name="C0")
L2=LinExpr()
L2.addTerms(50,X1)
L2.addTerms(40,X2)
L2.addTerms(30,X3)
master.addConstr(lhs=L2,sense="<=",rhs=14000,name="C1")
#
master.setObjective(9*X1+7*X2+5.5*X3,GRB.MAXIMIZE)
master.optimize()
#
opval=master.ObjVal
print("最適値=",opval)
print("主要変数=")
for v in master.getVars():
    if v.X>0:
        print(v.VarName,v.X)
#
print("{0:>15}: {1:>8} , {2:>4}".format("Const.Name","Slack","Dual"))
for c in master.getConstrs():
    print("{0:>15}: {1:>8} , {2:>4}".format(c.ConstrName,c.Slack,c.Pi))
#

最適値= 2550.0
主要変数=
X1 100.0
X3 300.0
     Const.Name:    Slack , Dual
             C0:     -0.0 , 0.25
             C1:     -0.0 , 0.15

分析

もしプレス工場の能力を 1 人時だけ増加するならば利益は 2500 円だけ増す。

もし組み立て塗装工場の能力を 1 人時だけ増加するならば利益は 1500 円だけ増す。

A2 油脂の製造

	製品
	A	B	C	D
原料油	X1	X2	X3	X4
Ⅰ	1.3894	0.9583	1.4286	0.0000	300
Ⅱ	0.6309	0.4250	0.0000	1.0000	220
直接製造変動費	40,014	34,592	23,571	13,100
販売価格	66,000	71,000	42,000	38,000

各製品をどれだけずつ製造したら利潤が最大となるか。

制約条件式

1.3894*X1+0.9583*X2+1.4286*X3+0.0000*X4 ≦ 300

0.6309*X1+0.4250*X2+0.0000*X3+1.0000*X4 ≦ 220

X1 ≦ 180

X2 ≦ 170

目的関数(max)

(66000-40014)*X1+(71000-34592)*X2+

(42000-23571)*X3+(38000-13100)*X4 = Z

最良計画

x2=170, x3=96, x4=148, Z=11640,000

Python による結果

# 2-A2油脂の製造
from mypulp import *
a = [
    [1.3894,0.9583,1.4286,0.0000],
    [0.6309,0.4250,0.0000,1.0000]]
c = [40014,34592,23571,13100]
p = [66000,71000,42000,38000]
#
master = Model("model2A2")
n = len(c)
V = {}
for i in range(n):
    V[i] = master.addVar(vtype="C")
#
master.update()
#
master.addConstr(quicksum(a[0][j]*V[j] for j in range(n)) <= 300)
master.addConstr(quicksum(a[1][j]*V[j] for j in range(n)) <= 220)
master.addConstr(V[0] <= 180)
master.addConstr(V[1] <= 170)
master.setObjective(
    quicksum((p[j]-c[j])*V[j] for j in range(n)),GRB.MAXIMIZE)
master.optimize()
#
opval=master.ObjVal
print("最適値=",opval)
print("主要変数=")
for v in master.getVars():
    if v.X>0:
        print(v.VarName,v.X)
#
print("{0:>15}: {1:>8} , {2:>4}".format("Const.Name","Slack","Dual"))
for c in master.getConstrs():
    print("{0:>15}: {1:>8} , {2:>4}".format(c.ConstrName,c.Slack,c.Pi))
#

最適値= 11636788.861449
主要変数=
x_2 170.0
x_3 95.960381
x_4 147.75
     Const.Name:    Slack , Dual
            c_1:     -0.0 , 12900.042
            c_2:     -0.0 , 24900.0
            c_3:    180.0 , -0.0
            c_4:     -0.0 , 13463.39

分析

製品 B の販売量の制限が緩めば、1kl につき 13,463 円の割で利潤が増す。

また原料油Ⅰがもっとよけい入手できれば、1kl につき 12,900 円の割で利潤が増す。

原料油Ⅱの方ならば 1kl につき 24,900 円の割で利潤が増す。

B1 飼料の混合

飼料		カロリー	蛋白質含有量	単価
A	X1	3000	180	54
B	X2	1800	220	40
C	X3	1600	400	64
		5000	550	64

１日あたり各飼料を何 kg ずつ購入すれば、費用が最小となるか。

制約条件式

3000*X1+1800*X2+1600*X3 ≧ 5000

180*X1+220*X2+400*X3 ≧ 550

目的関数(min)

54*X1+40*X2+64*X3 = Z

最良計画

x1=0.327381, x2=2.23214, Z=107(10.6964)

Python による結果

# 2-B1飼料の混合
from mypulp import *
master = Model("model2B1")
X1 = master.addVar(name="X1")
X2 = master.addVar(name="X2")
X3 = master.addVar(name="X3")
master.update()
master.addConstr(3000*X1+1800*X2+1600*X3 >= 5000)
master.addConstr(180*X1+220*X2+400*X3 >= 550)
master.setObjective(54*X1+40*X2+64*X3,GRB.MINIMIZE)
master.optimize()
#
opval=master.ObjVal
print("最適値=",opval)
print("主要変数=")
for v in master.getVars():
    if v.X>0:
        print(v.VarName,v.X)
#
最適値= 106.9642873
主要変数=
X1 0.32738095
X2 2.2321429

B2 高炉の操業

	銘柄
	A	B	C	D	E	F
成分	X1	X2	X3	X4	X5	X6
Fe Total (%)	57.4	54.6	53.3	57.2	33.0	20.0
Mn (%)	0.306	0.125	0.194	0.299	8.370	6.320
P (%)	0.044	0.052	0.185	0.139	0.884	1.264
S (%)	0.604	0.109	0.659	0.113	0.060	0.202
Al₂O₃ (%)	1.690	7.010	4.420	3.090	2.320	2.890
Cu (%)	0.161	0.044	0.054	0.046	0.000	0.019

単価（円トン）	5,290	5,130	5,200	4,850	4,480	800

銑鉄１トンについて各鉱石をどのように配合して装入するのが最も経済的か。

制約条件式

57.4*X1+54.6*X2+53.3*X3+57.2*X4+33.0*X5+20.0*X6 ≧ 100

0.306*X1+0.125*X2+0.194*X3+0.299*X4+8.370*X5+6.320*X6 ≧ 1.333

0.044*X1+0.052*X2+0.185*X3+0.139*X4+0.884*X5+1.264*X6 ≦ 0.584

0.604*X1+0,109*X2+0.659*X3+0.113*X4+0.060*X5+0.202*X6 ≦ 1.381

1.690*X1+7.010*X2+4.420*X3+3.090*X4+2.320*X5+2.890*X6 = 5.79

0.161*X1+0.044*X2+0.054*X3+0.046*X4+0.000*X5+0.019*X6 ≦ 0.0800

目的関数(min)

5290*X1+5130*X2+5200*X3+4850*X4+4480*X5+800*X5 = Z

最良計画

x4=1.655, x5=0.038, x6=0.203, Z=8,361

Python による結果

# 2-B2高炉の操業
from mypulp import *
a = [
    [57.4,54.6,53.3,57.2,33.0,20.0],
    [0.306,0.125,0.194,0.299,8.370,6.320],
    [0.044,0.052,0.185,0.139,0.884,1.264],
    [0.604,0,109,0.659,0.113,0.060,0.202],
    [1.690,7.010,4.420,3.090,2.320,2.890],
    [0.161,0.044,0.054,0.046,0.000,0.019]
]
p = [5290,5130,5200,4850,4480,800]
#
master = Model("model2B2")
n = len(p)
V = {}
for i in range(n):
    V[i] = master.addVar(vtype="C")
#
master.update()
#
master.addConstr(quicksum(a[0][j]*V[j] for j in range(n)) >= 100)
master.addConstr(quicksum(a[1][j]*V[j] for j in range(n)) >= 1.333)
master.addConstr(quicksum(a[2][j]*V[j] for j in range(n)) <= 0.584)
master.addConstr(quicksum(a[3][j]*V[j] for j in range(n)) <= 1.381)
master.addConstr(quicksum(a[4][j]*V[j] for j in range(n)) == 5.79)
master.addConstr(quicksum(a[5][j]*V[j] for j in range(n)) <= 0.0800)
master.addConstr(quicksum(a[1][j]*V[j] for j in range(n)) <= 220)
master.addConstr(quicksum(a[1][j]*V[j] for j in range(n)) <= 220)
master.setObjective(
    quicksum(p[j]*V[j] for j in range(n)),GRB.MINIMIZE)
master.optimize()
#
opval=master.ObjVal
print("最適値=",opval)
print("主要変数=")
for v in master.getVars():
    #if v.X>0:
        print(v.VarName,v.X)
#
最適値= 8361.252108159999
主要変数=
x_1 0.0
x_2 0.0
x_3 0.0
x_4 1.6552656
x_5 0.038120742
x_6 0.20304128

B3 発送電

発電設備			送電損失率
発電所	最大出力	石炭消費率	Ⅰ	Ⅱ
A	250	0.72	0.15	0.10
B	165	0.64	0.19	0.13
C	65	0.49	0.12	0.11

需要地	需要量
Ⅰ	170
Ⅱ	210

各発電所の石炭消費量の総和を最小にするには、各発電所の出力をいくらに決めればよいか。

変数

	需要地
発電所	Ⅰ	Ⅱ
A	x1	x2
B	y1	y2
C	z1	z2

(1-0.15)x1+(1-0.19)y1+(1-0.12)z1 = 170

(1-0.10)x2+(1-0.13)y2+(1-0.11)z2 = 210

目的関数(min)

0.72(x1+x2)+0.64(y1+y2)+0.49(z1+z2)

最良計画

	需要地
発電所	Ⅰ	Ⅱ	計	余裕	最大出力
A	132.7	73.8	206.5	43.5	250.0
B	0	165.0	165.0	0	165.0
C	65.0	0	65.0	0	65.0

石炭消費量=286.2

Python による結果

# 2-B3発送電
from mypulp import *
master = Model("model2B3")
x1 = master.addVar(vtype="C",name="x1")
y1 = master.addVar(vtype="C",name="y1")
z1 = master.addVar(vtype="C",name="z1")
x2 = master.addVar(vtype="C",name="x2")
y2 = master.addVar(vtype="C",name="y2")
z2 = master.addVar(vtype="C",name="z2")
master.update()
#
master.addConstr(x1+x2 <= 250,name="C1")
master.addConstr(y1+y2 <= 165,name="C2")
master.addConstr(z1+z2 <= 65,name="C3")
#
master.addConstr((1-0.15)*x1+(1-0.19)*y1+(1-0.12)*z1 == 170,name="C4")
master.addConstr((1-0.10)*x2+(1-0.13)*y2+(1-0.11)*z2 == 210,name="C5")
#
master.setObjective(0.72*(x1+x2)+0.64*(y1+y2)+0.49*(z1+z2),GRB.MINIMIZE)
master.optimize()
#
opval=master.ObjVal
print("最適値=",opval)
print("主要変数=")
for v in master.getVars():
    if v.X>0:
        print(v.VarName,v.X)
#
print("{0:>15}: {1:>8} , {2:>4}".format("Const.Name","Slack","Dual"))
for c in master.getConstrs():
    print("{0:>15}: {1:>8} , {2:>4}".format(c.ConstrName,c.Slack,c.Pi))
#
最適値= 286.15823336000005
主要変数=
x1 132.70588
x2 73.833333
y2 165.0
z1 65.0
     Const.Name:    Slack , Dual
             C1: 43.46078 ,  0.0
             C2:     -0.0 , -0.056
             C3:     -0.0 , -0.25541176
             C4:     -0.0 , 0.84705882
             C5:     -0.0 ,  0.8

C1 燐鉱石の混合

燐鉱石	P₂O₅ 含有率（％）	単価（円/ton）	購入可能量（ton）
M₁	32	10,300	5,000 以下
M₂	37	13,500	10,000 以下
M₃	28	9,600	20,000 以下

製品	P₂O₅ 含有率（％）	販売価格（円/混合物 ton）
A₁	31 以上	22,000
A₂	35 以上	25,000

原料 M₁,M₂,M₃ をどのように混合して製品 A₁,A₂ をどれだけずつ製造したら利潤が最も多くなるか。

解答（退化の例）

	A1	A2
M1	x1	x4	32	10300	5000
M2	x2	x5	37	13500	10000
M3	x3	x6	28	9600	20000
	22000	25000

条件式

32x1+37x2+28x3-31(x1+x2+x3)≧0

32x4+37x5+28x6-35(x4+x5+x6)≧0

x1+x4≦5000

x2+x5≦10000

x3+x6≦20000

目的関数(MAX)

(22000-10300)x1+(22000-13500)x2+(22000-9600)x3+

(25000-10300)x4+(25000-13500)x5+(25000-9600)x6=z

最適解

X1 = 5000.0000, X2 = 9027.7778, X3 = 19722.2222

X4 = 0.0000, X5 = 972.2222, X6 = 277.7778

Z=395250000.0000

書籍解

X1 = 4500.0000, X2 = 9250.0000, X3 = 20000.0000

X4 = 500.0000, X5 = 750.0000, X6 = 0.0000

Z=395250000

Python による結果

# 2-C1燐鉱石の混合
from mypulp import *
master = Model("model2C1")
x1 = master.addVar(vtype="C",name="x1")
x2 = master.addVar(vtype="C",name="x2")
x3 = master.addVar(vtype="C",name="x3")
x4 = master.addVar(vtype="C",name="x4")
x5 = master.addVar(vtype="C",name="x5")
x6 = master.addVar(vtype="C",name="x6")
master.update()
#
master.addConstr(32*x1+37*x2+28*x3-31*(x1+x2+x3) >= 0,name="C1")
master.addConstr(32*x4+37*x5+28*x6-35*(x4+x5+x6) >= 0,name="C2")
#
master.addConstr(x1+x4 <= 5000,name="C3")
master.addConstr(x2+x5 <= 10000,name="C4")
master.addConstr(x3+x6 <= 20000,name="C5")
#
master.setObjective(
    (22000-10300)*x1+(22000-13500)*x2+(22000-9600)*x3+
    (25000-10300)*x4+(25000-13500)*x5+(25000-9600)*x6,GRB.MAXIMIZE)
master.optimize()
#
opval=master.ObjVal
print("最適値=",opval)
print("主要変数=")
for v in master.getVars():
    if v.X>0:
        print(v.VarName,v.X)
#
print("{0:>15}: {1:>8} , {2:>4}".format("Const.Name","Slack","Dual"))
for c in master.getConstrs():
    print("{0:>15}: {1:>8} , {2:>4}".format(c.ConstrName,c.Slack,c.Pi))
#
最適値= 395249997.442
主要変数=
x1 5000.0
x2 9027.7778
x3 19722.222
x5 972.22222
x6 277.77778
     Const.Name:    Slack , Dual
             C1: 7.2759576e-12 , -750.0
             C2: -4.5474735e-13 , -750.0
             C3:     -0.0 , 12450.0
             C4:     -0.0 , 13000.0
             C5:     -0.0 , 10150.0

C2 ビタミン剤の製造

最低含有量
製品	ビタミンA（国際単位）	ビタミンB₁(mg)	ビタミンC(mg)
Ⅰ	3000	1.0	30
Ⅱ	2000	3.0	15

原料は a だけが入手困難であって、毎月 60 kg しか買い入れることができない。原料 1 g 当たりのビタミン含有量は次のようである。

ビタミン含有量
原料	ビタミンA（国際単位）	ビタミンB₁(mg)	ビタミンC(mg)
a	4500	0.75	35
b	1700	1.20	28
c	1000	4.5	15
d	1500	3.20	15

原料混合の際の、目減りはなく、混合のための費用は各製品について同一であるとする。

利潤を最大にする製造計画を立てよ。

注．価格は10g当たり

	ビタミン剤
原料	Ⅰ			Ⅱ		購入価格
a	A	4500	X1	A	X5	250
	B	0.75		B
	C	35		C
b	A	1700	X2	A	X6	230
	B	1.20		B
	C	28		C
c	A	1000	X3	A	X7	260
	B	4.5		B
	C	15		C
d	A	1500	X4	A	X8	220
	B	3.20		B
	C	15		C

	3000			2000
	1.0			3.0
	30			15

販売価格	400			350

条件式

4500X1+1700X2+1000X3+1500X4-3000(X1+X2+X3+X4) ≧ 0

4500X5+1700X6+1000X7+1500X8-2000(X5+X6+X7+X8) ≧ 0

0.75X1+1.20X2+4.50X3+3.20X4-1.0(X1+X2+X3+X4) ≧ 0

0.75X5+1.20X6+4.50X7+3.20X8-3.0(X5+X6+X7+X8) ≧ 0

35X1+28X2+15X3+15X4-30(X1+X2+X3+X4) ≧ 0

35X5+26X6+15X7+15X8-15(X5+X6+X7+X8) ≧ 0

X1+X5 ≦ 60000(60000)

1500X1-1300X2-2000X3-1500X4≧0

-0.25X1+0.20X2+3.5X3+2.20X4≧0.0

5X1-2X2-15X3-15X4≧0

2500X5-300X6-1000X7-500X8≧0

-2.25X5-1.80X6+1.5X7+0.20X8≧0.0

20X5+13X6+0X7+0X8≧0

目的関数(MAX)

利潤 (400-250), (400-230), 400-260), (400-220)

(350-250), (350-230), (350-260), (350-220)

(400-250)X1+(400-230)X2+(400-260)X3+(400-220)X4+

(350-250)X5+(350-230)X6+(350-260)X7+(350-220)X8 = Z

最適解（単位はg, 円）

	X1	0.0000	X2	0.0000	X3	0.0000	X4	0.0000
	X5	60000.0000	X6	00000.0000	X7	68181.8182	X8	163636.3636
Z	=	3340909.1072

Python による結果

# 2-C2ビタミン剤の製造
from mypulp import *
Demands = ["a", "b", "c", "d"]
Elements = ["A","B","C"]
Contents = {
    ("a","A"):4500, ("a","B"):0.75, ("a","C"):35,
    ("b","A"):1700, ("b","B"):1.20, ("b","C"):28,
    ("c","A"):1000, ("c","B"):4.50, ("c","C"):15,
    ("d","A"):1500, ("d","B"):3.20, ("d","C"):15
}
Needs = {
    ("A",1):3000, ("B",1):1.0, ("C",1):30,
    ("A",2):2000, ("B",2):3.0, ("C",2):15
}
Costs = {"a":250, "b":230, "c":260, "d":220}
Prices = {1:400, 2:350}
#
master = Model("model2C2")
# 決定変数
x = {}
for i in Demands:
    x[i,1] = master.addVar(vtype="C",name="x({0},{1})".format(i,1))
for i in Demands:
    x[i,2] = master.addVar(vtype="C",name="x({0},{1})".format(i,2))
master.update()
# 原料調達の制約式
master.addConstr(x["a",1]+x["a",2] <= 60000)
# Ⅰの制約式
for j in Elements:
    master.addConstr(
        quicksum((Contents[i,j]-Needs[j,1])*x[i,1] for i in Demands) >= 0,
        name="C{0},C{1})".format(j,1))
# Ⅱの制約式
for j in Elements:
    master.addConstr(
        quicksum((Contents[i,j]-Needs[j,2])*x[i,2] for i in Demands) >= 0,
        name="C{0},C{1})".format(j,2))
# 目的関数
master.setObjective(
    quicksum((Prices[1]-Costs[i])*x[i,1]+(Prices[2]-Costs[i])*x[i,2] for i in Demands),GRB.MAXIMIZE)
# 最適化
master.optimize()
#
if master.Status == GRB.Status.OPTIMAL:
    opval=master.ObjVal
    print("最適値=",opval)
    print("主要変数=")
    for v in master.getVars():
        if v.X>0:
            print(v.VarName,v.X)
    #
    print("{0:>15}: {1:>8} , {2:>4}".format("Const.Name","Slack","Dual"))
    for c in master.getConstrs():
        print("{0:>15}: {1:>8} , {2:>4}".format(c.ConstrName,c.Slack,c.Pi))
else:
    print("Not Optimal")
    print(master)
#

最適値= 33409090.419999998
主要変数=
x(a,2) 60000.0
x(c,2) 68181.818
x(d,2) 163636.36
     Const.Name:    Slack , Dual
            c_1:     -0.0 , 556.81818
         CA,C1):     -0.0 , -0.27121212
         CB,C1):     -0.0 , -0.0
         CC,C1):     -0.0 , -0.0
         CA,C2):     -0.0 , -0.32181818
         CB,C2): -1.8189894e-11 , -154.54545
         CC,C2): -1200000.0 , -0.0

D1 米の輸送

２個所の米の出荷地 Ⅰ,Ⅱ から、３個所の消費地 A, B, C へ米を輸送したい。

トン当たりの輸送費は、Ⅰから A へは 630 円、Ⅰから B へは 785 円、Ⅰから C へは 805 円、

Ⅱから A へは 700 円、Ⅱから B へは 475 円、Ⅱから C へは 515 円である。

消費地 A, B, C の必要量は 500トン、 700トン、 450トンであり、

出荷地ⅠおよびⅡの出荷可能量はそれぞれ 750トン、900トンである。

	出荷地		消費地
750t	Ⅰ	630円	A	500t
		785円	B	700t
		805円	C	450t
900t	Ⅱ	700円	A
		475円	B
		515円	C

輸送費を最小にするには、どのような計画を立てたらよいか。

決定変数

		消費地
出荷地		A	B	C
Ⅰ	750	630	785	805
		x1	x2	x3
Ⅱ	900	700	475	515
		x4	x5	x6

		500	700	450

制約条件式

x1+x2+x3 <= 750

x4+x5+x6 <= 900

x1+x4 >= 500

x2+x5 >= 700

x3+x6 >= 450

目的関数(min)

630*x1+785*x2+805*x3+700*x4+475*x5+515*x6 = Z

解答

	消費地
出荷地	A	B	C
Ⅰ	500		250
Ⅱ		700	200

総輸送費=951,750

Python による結果

# 2-D1 コメの輸送
from mypulp import *
model = Model("2D1")
#
x1 = model.addVar(vtype="C",name="x1")
x2 = model.addVar(vtype="C",name="x2")
x3 = model.addVar(vtype="C",name="x3")
x4 = model.addVar(vtype="C",name="x4")
x5 = model.addVar(vtype="C",name="x5")
x6 = model.addVar(vtype="C",name="x6")
model.update()
# 制約条件式
model.addConstr(x1+x2+x3 <= 750,name="C1")
model.addConstr(x4+x5+x6 <= 900,name="C2")
model.addConstr(x1+x4 >= 500,name="C3")
model.addConstr(x2+x5 >= 700,name="C4")
model.addConstr(x3+x6 >= 450,name="C5")
# 目的関数(min)
model.setObjective(630*x1+785*x2+805*x3+700*x4+475*x5+515*x6, GRB.MINIMIZE)
# 最適化
model.optimize()
#
if model.Status == GRB.Status.OPTIMAL:
    opval=model.ObjVal
    print("最適値=",opval)
    print("主要変数=")
    for v in model.getVars():
        if v.X>0:
            print(v.VarName,v.X)
    #
    print("{0:>15}: {1:>8} , {2:>4}".format("Const.Name","Slack","Dual"))
    for c in model.getConstrs():
        print("{0:>15}: {1:>8} , {2:>4}".format(c.ConstrName,c.Slack,c.Pi))
else:
    print(model)
#
最適値= 951750.0
主要変数=
x1 500.0
x3 250.0
x5 700.0
x6 200.0
     Const.Name:    Slack , Dual
             C1:     -0.0 ,  0.0
             C2:     -0.0 , -290.0
             C3:     -0.0 , 630.0
             C4:     -0.0 , 765.0
             C5:     -0.0 , 805.0

D2 リンゴの輸送

この問題については、書籍１の６１番問題を参照。

		消費地
出荷能力	果樹園	A	B	C
1150箱	Ⅰ	X₁	X₂	X₃
		37	20	39
1900箱	Ⅱ	X₄	X₅	X₆
		14	28	24
1500箱	Ⅲ	X₇	X₈	X₉
		24	34	32

	要求量	800	1200	1500
	売価	680	655	715

X1+X2+X3≦1150, X4+X5+X6≦1900, X7+X8+X9≦1500

X1+X4+X7≧800, X2+X5+X8≧1200, X3+X6+X9≧1500

利潤＝売価-(製造原価+輸送費)

z	=	(680-(500+37))X1+(655-(500+20))X2+(715-(500+39))X3+
		(680-(500+14))X4+(655-(500+28))X5+(715-(500+24))X6+
		(680-(500+24))X7+(655-(500+34))X8+(715-(500+32))X9

最良輸送計画

	消費地
出荷地	A	B	C
Ⅰ	0	1150	0
Ⅱ	800	0	1100
Ⅲ	0	50	1450

別解

	消費地
出荷地	A	B	C
Ⅰ	0	1150	0
Ⅱ	0	0	1900
Ⅲ	800	50	650

Z=769550

E1 製品Xの生産

この問題については、書籍１の７２番問題を参照。

四半期	需要高	通常生産力	残業生産力	残業コスト	在庫コスト
第１	500	1000	1000	600	400
第２	700	1000	1000	600	400
第３	1500	1000	1000	600	400
第４	2000	1000	1000	600	400

コストを最小にするためには各四半期にそれぞれ何トンずつ生産したらよいか。

検討

四半期	需要高	通常生産力	残業生産力	残業コスト	在庫コスト	繰越
第１	500	1000	1000	600	400
		X1	X2			X3
第２	700	1000	1000	600	400
		X4	X5			X6
第３	1500	1000	1000	600	400
		X7	X8			X9
第４	2000	1000	1000	600	400
		X10	X11			X12

制約条件

X1 ≦ 1000, X2 ≦ 1000, X4 ≦ 1000, X5 ≦ 1000

X7 ≦ 1000, X8 ≦ 1000, X10 ≦ 1000, X11 ≦ 1000

X12+X1 +X2 -X3= 500

X3 +X4 +X5 -X6= 700

X6 +X7 +X8 -X9=1500

X9 +X10+X11-X12=2000

ここまでは、残業コストも、在庫コストも発生しない。

第三期の X6 は 500 未満でも前期の在庫があり得る。

また第三期には新たな在庫を造らくてもよい。

目的関数のコスト

600(X2+X5+X8+X11)+400(X3+X6+X9+X12)=z

最良の計画

四半期	通常生産	残業生産	需要高	期末在庫
第１	500	0	500	0
第２	1000	0	700	300
第３	1000	200	1500	0
第４	1000	1000	2000	0

余分のコスト

840000

E2 ２種の時計の生産

A（並級）、B（高級）という２種類の時計を作っている会社がある。

その需用は表のとおりに変動する。

工場は A,B 合わせて正規生産では１期に 70 万個、残業生産では１期に 35 万個まで生産する能力がある。

残業生産による余分のコストは A は１個当たり 100 円、 B は１個当たり 110 円である。

また在庫品として１期繰り越すと、A は１個当たり 60 円、B は１個当たり 70 円のコストがかかる。

需要の変動（万個）			通常生産力		残業生産力		繰越在庫		コスト
四半期	A	B	A	B	A	B	A	B	残業		在庫
第１	20	15	70		35				100	110	60	70
			X1	X2	X3	X4	X5	X6
第２	30	20	70		35				100	110	60	70
			X7	X8	X9	X10	X11	X12
第３	50	50	70		35				100	110	60	70
			X13	X14	X15	X16	X17	X18
第４	55	85	70		35				100	110	60	70
			X19	X20	X21	X22	X23	X24

残業と繰り越しのための余分のコストの合計が最小となるよう生産計画を立てよ。

制約条件

X1+X2 ≦ 70, X3+X4 ≦ 35,

X7+X8 ≦ 70, X9+X10 ≦ 35,

X13+X14 ≦ 70, X15+X16 ≦ 35,

X19+X20 ≦ 70, X21+X22 ≦ 35,

生産、販売、在庫の関係

X23+X1 +X3 -X5= 20

X24+X2 +X4 -X6= 15

X5 +X7 +X9 -X11=30

X6 +X8+X10-X12=20

X11+X13+X15-X17=50

X12+X14+X16-X18=50

X17+X19+X21-X23=55

X18+X20+X22-X24=85

目的関数のコスト

100(X3+X9+X15+X21)+110(X4+X10+X16+X22)+

60(X5+X11+X17+X23)+70(X6+X12+X18+X24)=z

最良の計画

	通常生産		残業生産		期末在庫		販売量
四半期	A	B	A	B	A	B	A	B
第１	30	15	0	0	10	0	20	15
第２	50	20	0	0	30	0	30	20
第３	20	50	35	0	35	0	50	50
第４	0	70	20	15	0	0	55	85

別の最良計画

	通常生産		残業生産		期末在庫		販売量
四半期	A	B	A	B	A	B	A	B
第１	30	15	0	0	10	0
第２	50	20	0	0	30	0
第３	5	65	35	0	20	15
第４	0	70	35	0	0	0

余分のコスト

11650

# 2-E2２種の時計の生産
from mypulp import *
#
Quaters = [1,2,3,4]
Labors = ["Nrm","Add","Hus"]
Grades = ["A","B"]
Demands = {
    (1,"A"):20,(1,"B"):15,
    (2,"A"):30,(2,"B"):20,
    (3,"A"):50,(3,"B"):50,
    (4,"A"):55,(4,"B"):85
}
Products = [
    [1,"Nrm","A"],[1,"Nrm","B"],[1,"Add","A"],[1,"Add","B"],[1,"Hus","A"],[1,"Hus","B"],
    [2,"Nrm","A"],[2,"Nrm","B"],[2,"Add","A"],[2,"Add","B"],[2,"Hus","A"],[2,"Hus","B"],
    [3,"Nrm","A"],[3,"Nrm","B"],[3,"Add","A"],[3,"Add","B"],[3,"Hus","A"],[3,"Hus","B"],
    [4,"Nrm","A"],[4,"Nrm","B"],[4,"Add","A"],[4,"Add","B"],[4,"Hus","A"],[4,"Hus","B"]
]
#
model = Model("2E2")
# 決定変数
x = {}
for i in Quaters:
    for j in Labors:
        for k in Grades:
            x[i,j,k] = model.addVar(vtype="C",name="x({0},{1},{2})".format(i,j,k))
model.update()
# 制約条件式
# 生産能力による制約
for j in Quaters:
    model.addConstr(x[j,"Nrm","A"]+x[j,"Nrm","B"] <= 70)
    model.addConstr(x[j,"Add","A"]+x[j,"Add","B"] <= 35)
# 需要の変動による制約
for i in Quaters:
    if i > 1:
        model.addConstr(x[i-1,"Hus","A"]+x[i,"Nrm","A"]+x[i,"Add","A"]-x[i,"Hus","A"] == Demands[i,"A"])
        model.addConstr(x[i-1,"Hus","B"]+x[i,"Nrm","B"]+x[i,"Add","B"]-x[i,"Hus","B"] == Demands[i,"B"])
    else:
        model.addConstr(x[4,"Hus","A"]+x[i,"Nrm","A"]+x[i,"Add","A"]-x[i,"Hus","A"] == Demands[i,"A"])
        model.addConstr(x[4,"Hus","B"]+x[i,"Nrm","B"]+x[i,"Add","B"]-x[i,"Hus","B"] == Demands[i,"B"])
#
# 目的関数(min)
model.setObjective(
    100*quicksum(x[i,"Add","A"] for i in Quaters)+
    110*quicksum(x[i,"Add","B"] for i in Quaters)+
    60*quicksum(x[i,"Hus","A"] for i in Quaters)+
    70*quicksum(x[i,"Hus","B"] for i in Quaters), GRB.MINIMIZE)
# 最適化
model.optimize()
#
if model.Status == GRB.Status.OPTIMAL:
    opval=model.ObjVal
    print("最適値=",opval)
    print("主要変数=")
    for v in model.getVars():
        if v.X>0:
            print(v.VarName,v.X)
    #
    print("{0:>15}: {1:>8} , {2:>4}".format("Const.Name","Slack","Dual"))
    for c in model.getConstrs():
        print("{0:>15}: {1:>8} , {2:>4}".format(c.ConstrName,c.Slack,c.Pi))
else:
    print(model)
#
最適値= 11650.0
主要変数=
x(1,Hus,A) 10.0
x(1,Nrm,A) 30.0
x(1,Nrm,B) 15.0
x(2,Hus,A) 30.0
x(2,Nrm,A) 50.0
x(2,Nrm,B) 20.0
x(3,Add,A) 35.0
x(3,Hus,A) 35.0
x(3,Nrm,A) 20.0
x(3,Nrm,B) 50.0
x(4,Add,A) 20.0
x(4,Add,B) 15.0
x(4,Nrm,B) 70.0
     Const.Name:    Slack , Dual
            c_1:     25.0 ,  0.0
            c_2:     35.0 ,  0.0
            c_3:     -0.0 , -60.0
            c_4:     35.0 ,  0.0
            c_5:     -0.0 , -120.0
            c_6:     -0.0 , -20.0
            c_7:     -0.0 , -190.0
            c_8:     -0.0 , -80.0
            c_9:     -0.0 ,  0.0
           c_10:     -0.0 ,  0.0
           c_11:     -0.0 , 60.0
           c_12:     -0.0 , 60.0
           c_13:     -0.0 , 120.0
           c_14:     -0.0 , 120.0
           c_15:     -0.0 , 180.0
           c_16:     -0.0 , 190.0

E3 中間体Mと製品Xの製造

第１工場で中間体 M を造り、これを第２工場で製品 X にする。

.............................................................................

原料				中間体M				製品 X
----	->	第１工場	-	------	->	第２工場	-	---->	市場
				↓↑				↓↑
				倉庫				倉庫

.............................................................................

第１工場と第２工場とを合わせて、最も経済的な生産計画を立てよ。

		第１工場 (M)					第２工場 (X)
四半期	需要高	正規生産	残業生産	繰越在庫	残業コスト	繰越コスト	正規生産	残業生産	繰越在庫	残業コスト	繰越コスト
第１	500	1000	300		200	120	1000	1000		600	400
		X1	X2	X3			X4	X5	X6
第２	700	1000	300		200	120	1000	1000		600	400
		X7	X8	X9			X10	X11	X12
第３	1500	1000	300		200	120	1000	1000		600	400
		X13	X14	X15			X16	X17	X18
第４	2000	1000	300		200	120	1000	1000		600	400
		X19	X20	X21			X22	X23	X24

X1 ≦1000, X2 ≦300

X7 ≦1000, X8 ≦300

X13≦1000, X14≦300

X19≦1000, X20≦300

X4 ≦1000, X5 ≦1000

X10≦1000, X11≦1000

X16≦1000, X17≦1000

X22≦1000, X23≦1000

X21+X1+X2-X3=X4+X5
X24+X4+X5-X6=500

X3+X7+X8-X9=X10+X11
X6+X10+X11-X12=700

X9+X13+X14-X15=X16+X17
X12+X16+X17-X18=1500

X15+X19+X20-X21=X22+X23
X18+X22+X23-X24=2000

200(X2+X8+X14+X20)+120(X3+X9+X15+X21)+
600(X5+X11+X17+X23)+400(X6+X12+X18+X24)=z

最適解

X1	1000	X2	0	X3	300	X4	700	X5	0	X6	200
X7	1000	X8	100	X9	400	X10	1000	X11	0	X12	500
X13	1000	X14	300	X15	700	X16	1000	X17	0	X18	0
X19	1000	X20	300	X21	0	X22	1000	X23	1000	X24	0

Z = 1188000

書籍解

X1	1000	X2	0	X3	300	X4	700	X5	0	X6	200
X7	1000	X8	100	X9	400	X10	1000	X11	0	X12	500
X13	1000	X14	300	X15	700	X16	1000	X17	0	X18	0
X19	1000	X20	300	X21	0	X22	1000	X23	1000	X24	0

Z = 1188000

# 2-E3中間体Mと製品Xの製造
from mypulp import *
#
model = Model("2E3")
#
X1 = model.addVar(vtype="C",name="X1")
X2 = model.addVar(vtype="C",name="X2")
X3 = model.addVar(vtype="C",name="X3")
X4 = model.addVar(vtype="C",name="X4")
X5 = model.addVar(vtype="C",name="X5")
X6 = model.addVar(vtype="C",name="X6")
X7 = model.addVar(vtype="C",name="X7")
X8 = model.addVar(vtype="C",name="X8")
X9 = model.addVar(vtype="C",name="X9")
X10 = model.addVar(vtype="C",name="X10")
X11 = model.addVar(vtype="C",name="X11")
X12 = model.addVar(vtype="C",name="X12")
X13 = model.addVar(vtype="C",name="X13")
X14 = model.addVar(vtype="C",name="X14")
X15 = model.addVar(vtype="C",name="X15")
X16 = model.addVar(vtype="C",name="X16")
X17 = model.addVar(vtype="C",name="X17")
X18 = model.addVar(vtype="C",name="X18")
X19 = model.addVar(vtype="C",name="X19")
X20 = model.addVar(vtype="C",name="X20")
X21 = model.addVar(vtype="C",name="X21")
X22 = model.addVar(vtype="C",name="X22")
X23 = model.addVar(vtype="C",name="X23")
X24 = model.addVar(vtype="C",name="X24")
model.update()
# 制約条件式
# 能力による制約
model.addConstr(X1 <= 1000,name="C1")
model.addConstr(X2 <= 300,name="C2")
model.addConstr(X7 <= 1000,name="C3")
model.addConstr(X8 <= 300,name="C4")
model.addConstr(X13 <= 1000,name="C5")
model.addConstr(X14 <= 300,name="C6")
model.addConstr(X19 <= 1000,name="C7")
model.addConstr(X20 <= 300,name="C8")
model.addConstr(X4 <= 1000,name="C9")
model.addConstr(X5 <= 1000,name="C10")
model.addConstr(X10 <= 1000,name="C11")
model.addConstr(X11 <= 1000,name="C12")
model.addConstr(X16 <= 1000,name="C13")
model.addConstr(X17 <= 1000,name="C14")
model.addConstr(X22 <= 1000,name="C15")
model.addConstr(X23 <= 1000,name="C16")
# 需要の変動による制約
model.addConstr(X21+X1+X2-X3 == X4+X5,name="C17")
model.addConstr(X24+X4+X5-X6 == 500,name="C18")
model.addConstr(X3+X7+X8-X9 == X10+X11,name="C19")
model.addConstr(X6+X10+X11-X12 == 700,name="C20")
model.addConstr(X9+X13+X14-X15 == X16+X17,name="C21")
model.addConstr(X12+X16+X17-X18 == 1500,name="C22")
model.addConstr(X15+X19+X20-X21 == X22+X23,name="C23")
model.addConstr(X18+X22+X23-X24 == 2000,name="C24")
# 目的関数(min)
model.setObjective(
    200*(X2+X8+X14+X20)+120*(X3+X9+X15+X21)+
    600*(X5+X11+X17+X23)+400*(X6+X12+X18+X24),GRB.MINIMIZE)
# 最適化
model.optimize()
#
if model.Status == GRB.Status.OPTIMAL:
    opval=model.ObjVal
    print("最適値=",opval)
    print("主要変数=")
    for v in model.getVars():
        if v.X>0:
            print(v.VarName,v.X)
    #
    print("{0:>15}: {1:>8} , {2:>4}".format("Const.Name","Slack","Dual"))
    for c in model.getConstrs():
        print("{0:>15}: {1:>8} , {2:>4}".format(c.ConstrName,c.Slack,c.Pi))
else:
    print(model)
#

最適値= 1188000.0
主要変数=
X1 1000.0
X10 1000.0
X12 500.0
X13 1000.0
X14 300.0
X15 700.0
X16 1000.0
X19 1000.0
X20 300.0
X22 1000.0
X23 1000.0
X3 300.0
X4 700.0
X6 200.0
X7 1000.0
X8 100.0
X9 400.0
     Const.Name:    Slack , Dual
             C1:     -0.0 , -80.0
             C2:    300.0 ,  0.0
             C3:     -0.0 , -200.0
             C4:    200.0 ,  0.0
             C5:     -0.0 , -320.0
             C6:     -0.0 , -120.0
             C7:     -0.0 , -440.0
             C8:     -0.0 , -240.0
             C9:    300.0 ,  0.0
            C10:   1000.0 ,  0.0
            C11:     -0.0 , -280.0
            C12:   1000.0 ,  0.0
            C13:     -0.0 , -560.0
            C14:   1000.0 ,  0.0
            C15:     -0.0 , -840.0
            C16:     -0.0 , -240.0
            C17:     -0.0 , 80.0
            C18:     -0.0 , 80.0
            C19:     -0.0 , 200.0
            C20:     -0.0 , 480.0
            C21:     -0.0 , 320.0
            C22:     -0.0 , 880.0
            C23:     -0.0 , 440.0
            C24:     -0.0 , 1280.0

F1 梁の極限設計

梁の極限設計(limit design)では、ある点の曲げモーメントが "全塑性曲げモーメント" の値になれば、その点の曲率が無限に大きくなり、あたかも hinge（ちょうつがい）のように変形すると考え、plastic hinge（塑性ヒンジ）ができたと称する。

このような hinge が何箇所かにできて、一つの mechanism（機構）を形成するような形になれば、構造としては崩壊の状態になるわけである。

ある崩壊の型を考えると、hinge で全塑性曲げモーメント β のする仕事と、荷重点で荷重 W のする仕事から、仮想仕事の原理により、荷重倍数 λ が容易に得られる。おこり得るいろいろの型の変形の mechanism に対して崩壊が起こってはならないということ、つまり λ≧1 ということを条件とする。

そしてその条件の下で構造物の重量 G を最小にしたい。

第 i 部材の長さを l_i、全塑性モーメントを β_i とするとき、重量 G はΣl_iβ_iに比例するものと仮定する（この仮定は近似的に許される）。したがって Σl_iβ_i を最小にするように β_i を決めることが問題となる。

具体例として図のような連続梁をとる。

起こり得る変形は次図のように６通り考えられる。

一例として変形 A を考える。図に示した hinge の回転角をθ（ラジアン）とすると、

荷重 W₂=1 の変位は θx(l₂/2)、したがって荷重 W₂ による仕事は W₂xθx(l₂/2) であるが、

W₂=1,l₂=2 だから、この値はθに等しい。つぎに plastic hinge は図に示した２個所に生じ、

各の場所での全塑性モーメントによる仕事はβ₂xθ+β₂x2θ=3β₂θである。

したがってこの場合の荷重倍数をλ_Aとするとλ_Aθ=3β₂θ、

∴ λ_A=3β₂/1

そしてλ_A≧1が一つの条件となる。

同様に、

λ_B=(2β₁+4β₂)/(3+1)≧1
λ_C=(2β₁+β₂)/3≧1
λ_D=(3β₁)/3≧1
λ_E=(4β₁+2β₂)/(3+1)≧1
λ_F=(β₁+2β₂)/1≧1

を得る。

この条件の下で、重量に比例する l₁β₁+l₂β₂=2β₁+2β₂ を最小にしなさい。

最小値は 3.33333 です
0 でない変数の値:
x[1] = 1.33333
x[2] = 0.333334

# 2-F1梁の極限設計
from mypulp import *
#
model = Model("2F1")
#
X1 = model.addVar(vtype="C",name="X1")
X2 = model.addVar(vtype="C",name="X2")
model.update()
# 制約条件式
model.addConstr(3*X2 >= 1,name="C1")
model.addConstr((2*X1+4*X2)/4 >= 1,name="C2")
model.addConstr((2*X1+X2)/3 >= 1,name="C3")
model.addConstr(X1 >= 1,name="C4")
model.addConstr((4*X1+2*X2)/4 >= 1,name="C5")
model.addConstr(X1+2*X2 >= 1,name="C6")
# 目的関数(min)
model.setObjective(2*X1+2*X2, GRB.MINIMIZE)
# 最適化
model.optimize()
#
if model.Status == GRB.Status.OPTIMAL:
    opval=model.ObjVal
    print("最適値=",opval)
    print("主要変数=")
    for v in model.getVars():
        if v.X>0:
            print(v.VarName,v.X)
    #
    print("{0:>15}: {1:>8} , {2:>4}".format("Const.Name","Slack","Dual"))
    for c in model.getConstrs():
        print("{0:>15}: {1:>8} , {2:>4}".format(c.ConstrName,c.Slack,c.Pi))
else:
    print(model)
#
最適値= 3.33333326
主要変数=
X1 1.3333333
X2 0.33333333
     Const.Name:    Slack , Dual
             C1:     -0.0 , 0.33333333
             C2:     -0.0 ,  0.0
             C3:     -0.0 ,  3.0
             C4: -0.33333330000000005 ,  0.0
             C5:     -0.5 ,  0.0
             C6:     -1.0 ,  0.0

F2 構造物の塑性変形

図のように、５本の張線 PO, PA, PA', PB, PB' で一つの荷重 W を支えている系を考える。

各張線の長さ l_i, 降伏するときの伸び y_i ばね定数 k_i は以下の表のとおりとする

番号 i	張線	l_i (cm)	y_i (cm)	ばね定数 k (kg/cm)
1	PO	120	0.24	500
2	PA, PA'	150	0.30	400
3	PB, PB'	200	0.40	300

各張線の伸びを弾性の伸び e_i と塑性の伸び p_i とに分け、張力は k_ie_i に等しいとする。

もちろん e_i≦y_i でなければならない。

P 点の下がりをδとすると、変形の適合条件によって、各張線の伸びは

e₁+p₁=δ, e₂+p₂=0.8δ, e₃+p₃=0.6δ となる。荷重と張力の釣り合いの条件は

W= k₁e₁+1.6 k₂e₂+1.2 k₃e₃

となる。

いろいろなδに対し、上の条件を満たす範囲で e_i, p_i を変えて、W を最大にし、最大の W をδに対して置点したグラフを作れ。

変数対応
e1	e2	e3	p1	p2	p3
X1	X2	X3	X4	X5	X6

条件式

X1+X4=δ

X2+X5=0.8δ

X3+X6=0.6δ

X1≦0.24

X2≦0.30

X3≦0.40

目的関数

Z=500X1+640X2+360X3+0X4+0X5+0X6

# 2-F2構造物の塑性変形
from mypulp import *
master = Model("model2F2")
x1 = master.addVar(vtype="C",name="x1")
x2 = master.addVar(vtype="C",name="x2")
x3 = master.addVar(vtype="C",name="x3")
x4 = master.addVar(vtype="C",name="x4")
x5 = master.addVar(vtype="C",name="x5")
x6 = master.addVar(vtype="C",name="x6")
master.update()
#
d = 0.1
master.addConstr(x1+x4 == d,name="C1")
master.addConstr(x2+x5 == 0.8*d,name="C2")
master.addConstr(x3+x6 == 0.6*d,name="C3")
#
master.addConstr(x1 <= 0.24,name="C4")
master.addConstr(x2 <= 0.30,name="C5")
master.addConstr(x3 <= 0.40,name="C6")
#
master.setObjective(500*x1+640*x2+360*x3+0*x4+0*x5+0*x6,GRB.MAXIMIZE)
master.optimize()
#
opval=master.ObjVal
print("最適値=",opval)
print("主要変数=")
for v in master.getVars():
    if v.X>0:
        print(v.VarName,v.X)
#
print("{0:>15}: {1:>8} , {2:>4}".format("Const.Name","Slack","Dual"))
for c in master.getConstrs():
    print("{0:>15}: {1:>8} , {2:>4}".format(c.ConstrName,c.Slack,c.Pi))
#

最適値= 122.8
主要変数=
x1 0.1
x2 0.08
x3 0.06

最適値= 245.6
主要変数=
x1 0.2
x2 0.16
x3 0.12

最適値= 338.40000000000003
主要変数=
x1 0.24
x2 0.24
x3 0.18
x4 0.06

最適値= 398.4
主要変数=
x1 0.24
x2 0.3
x3 0.24
x4 0.16
x5 0.02

最適値= 420.0
主要変数=
x1 0.24
x2 0.3
x3 0.3
x4 0.26
x5 0.1

最適値= 441.6
主要変数=
x1 0.24
x2 0.3
x3 0.36
x4 0.36
x5 0.18

最適値= 456.0
主要変数=
x1 0.24
x2 0.3
x3 0.4
x4 0.46
x5 0.26
x6 0.02

最適値= 456.0
主要変数=
x1 0.24
x2 0.3
x3 0.4
x4 0.56
x5 0.34
x6 0.08

最適値= 456.0
主要変数=
x1 0.24
x2 0.3
x3 0.4
x4 0.66
x5 0.42
x6 0.14

最適値= 456.0
主要変数=
x1 0.24
x2 0.3
x3 0.4
x4 0.76
x5 0.5
x6 0.2

δ	0.8δe2	0.6δe3
0.1	0.08	0.06
0.2	0.16	0.12
0.3	0.24	0.18
0.4	0.32	0.24
0.5	0.40	0.30
0.6	0.48	0.36
0.7	0.56	0.42
0.8	0.64	0.48
0.9	0.72	0.54
1.0	0.80	0.60

δ と W の対応表

δ	Z
0.1	122.800
0.2	245.600
0.3	338.400
0.4	398.400
0.5	420.000
0.6	441.600
0.7	456.000
0.8	456.000
0.9	456.000
1.0	456.000

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『線形計画法入門（森口繁一）』